MATHÉMATIQUES (ENSEIGNEMENT DES)

MATHÉMATIQUES (ENSEIGNEMENT DES)

Les problèmes que pose tout enseignement sont extrêmement complexes; ils sont liés à l’état de la société, à sa structure, à son développement économique et technique et à l’idée qu’elle se fait de son avenir. Les aborder dans leur totalité et leur généralité n’est pas possible ici; on se limitera aux aspects spécifiques de l’enseignement des mathématiques, en soulignant dès l’abord que tout enseignement scientifique prépare l’avenir en utilisant les conquêtes du passé et qu’il joue, à l’échelle de la société, le rôle de la mémoire à celle de l’individu. Comme elle, il peut dégénérer en un radotage stérile; comme elle, il peut être une organisation intelligente du connu, qui permet de distinguer le connu de l’inconnu et de préparer l’exploration de ce dernier.

À cet égard, l’enseignement des mathématiques a un rôle capital et, semblerait-il a priori, un rôle facile à jouer. Cependant, son rendement a été jusqu’à présent assez faible, ce que traduit la croyance en une «bosse des maths» dont ne seraient pourvus qu’une faible proportion des hommes. C’est qu’il se heurte à des problèmes qui ont été mal cernés, ou attaqués avec insuffisamment de résolution. Mettre en lumière les principaux d’entre eux est l’ambition de cet article.

Méconnaissance d’une évolution

La croyance en l’invariabilité

Une première et très grave erreur qui a été commise par l’enseignement des mathématiques a été de ne pas tenir compte de l’évolution de la science au cours des âges, soit que cette évolution ait été presque totalement ignorée, soit qu’elle n’ait été perçue que comme un développement purement quantitatif. Consciemment ou non, l’enseignement s’est souvent comporté comme si toute théorie mathématique était parfaite dès son apparition et comme si le travail des générations de mathématiciens n’avait eu pour objet et pour résultat qu’une accumulation de théorèmes et de théories.

Or, si la mathématique ne remet jamais en cause la validité d’un théorème correctement démontré, elle modifie, en revanche, la conception globale de ses acquisitions; le théorème vrai est vrai pour l’éternité, mais sa place dans l’organisme vivant que constitue à chaque instant la mathématique peut varier considérablement; la place relative des théories, leurs liens, leur subordination peuvent être modifiés, renforcés ou bouleversés, et même inversés.

Le paradoxe historique

Cette croyance non fondée en l’invariabilité de la mathématique s’accompagne d’une erreur peut-être encore plus grave sur la nature de la discipline elle-même. Au cours de son histoire, la mathématique a pris progressivement conscience de sa nature, de sa puissance dans le domaine qui est le sien et en même temps de ses limites. Elle sait actuellement qu’elle n’est pas une science de la nature – bien qu’elle participe au développement des sciences de la nature et qu’elle puisse aider aussi les sciences économiques et les sciences humaines –, mais essentiellement une science de l’esprit, une manière de conduire sa pensée afin que celle-ci soit toujours en accord avec elle-même. Progresser, pour elle, c’est avant tout améliorer l’utilisation des possibilités de l’esprit humain, grâce à quoi l’on parvient à traiter facilement ce qui avait arrêté les générations précédentes. Et si chaque progrès se manifeste par une moisson de théorèmes qui en sont le signe visible, l’essentiel est sans doute moins l’accroissement de résultats que l’accroissement de l’aptitude à attaquer de nouveaux problèmes. Rien ne permet d’affirmer que nos possibilités intellectuelles intrinsèques soient supérieures à celles des hommes des quelques derniers millénaires, mais il est certain que nous savons infiniment mieux les utiliser. Et c’est pourquoi l’enseignement qui s’attarde à des façons de penser dépassées, qui présente au XX^e siècle la géométrie comme Euclide ou le calcul différentiel comme Leibniz (en trahissant même souvent ce qu’il y avait de meilleur chez ces illustres devanciers) ne remplit pas correctement sa mission.

L’usage qui veut que l’enseignement mathématique suive grosso modo l’ordre historique aboutit à ce paradoxe que l’on présente à la totalité des jeunes élèves les maladresses les plus anciennes et que l’on réserve les idées les plus fécondes et les méthodes les plus commodes à une partie seulement des élèves plus âgés.

L’enseignement ne doit pas se laisser prendre à ce paradoxe historique que les grandes idées simples n’ont été que lentement et péniblement dégagées, car, dès qu’elles le sont, leur simplicité et leur puissance apparaissent à qui veut bien les considérer sans préjugé.

La «modernisation» et ses limites

Ce que l’on appelle le mouvement de «modernisation» de l’enseignement des mathématiques, qui a débuté vers 1950 et qui, en 1980, était en cours dans toutes les nations du monde, a pour premier objectif de tenir compte, non dans le foisonnement des résultats mais dans l’utilisation des idées simples et fécondes, de tout l’acquis des mathématiques au cours de leur histoire.

La mathématique a plus progressé au cours du dernier siècle qu’au cours de tous les précédents, elle a élaboré un outillage intellectuel précis, commode, adaptable, qui intervient efficacement dès les éléments, que l’on peut et que l’on doit donc utiliser dès le départ.

Mais il ne faut pas s’en tenir là, car d’autres dangers menacent cet enseignement.

Science faite et science à faire

Le premier danger tient à l’opposition entre la science faite et la science à faire, opposition qui n’a pas le même sens au niveau de la société et au niveau de l’individu. Au niveau de la société, la science faite est celle qui est stockée dans les bibliothèques et incarnée dans le savoir-faire de la communauté des mathématiciens en activité; la science à faire est celle des tentatives pour obtenir des résultats encore inconnus, celle qui fait officiellement l’objet de ce qu’on appelle la recherche scientifique. Au niveau de l’individu, la science faite est celle qu’il maîtrise, et la science à faire est celle qu’il ignore, qu’elle soit déjà connue ou non d’autres hommes.

Le problème didactique crucial vient de ce que la société donne pour mission à l’enseignant de faire connaître la science faite, alors que l’élève la perçoit comme une science à faire. Si l’enseignant – que la pression sociale, par les programmes et les examens, pousse fortement dans ce sens – met trop fortement l’accent sur l’aspect «science faite», le dialogue avec l’élève est vicié dès le départ: l’enseignant imposera, contraindra, et l’esprit de l’élève au lieu de se développer librement et de prendre progressivement de la vigueur sera écrasé par la masse des acquisitions de la science faite.

Il y a là une des questions les plus délicates de la didactique des mathématiques, qui demande une étude approfondie et qui ne peut pas être résolue par des partis pris rigides ou des solutions simplistes.

On a dit, par exemple, que l’enseignement a pour mission, non d’apprendre, mais d’apprendre à apprendre. Si la formule a du bon, c’est à condition qu’on ne la force pas au point de lui faire dire qu’on peut apprendre à apprendre sans apprendre un contenu précis, et si l’on n’oublie pas que tous les contenus sont loin d’être également favorables à la formation de l’esprit. Il est vrai que l’apprentissage des mathématiques est plus celui d’un savoir-faire que d’un savoir; mais pour savoir faire, il faut faire.

On a parlé de redécouverte, mais il est clair que, laissé à lui-même, l’élève ne redécouvrira pas grand-chose. Et cependant il faut, pour comprendre une portion si faible soit-elle de mathématique, avoir d’abord une conscience nette d’un problème auquel elle répond, d’avoir envie de le résoudre et de s’y être essayé avant de pouvoir apprécier la réponse qui a été fournie par d’autres, réponse qu’il ne faut pas accepter sans discussion: est-elle bonne? si oui, paraît-elle la meilleure possible?

On a défendu et attaqué le rôle de la mémoire de façons également erronées: on ne peut faire le moindre progrès en mathématiques si l’esprit n’enregistre pas et ne peut pas avoir immédiatement à sa disposition les résultats et les méthodes déjà rencontrées, mais, en revanche, on ne pourra se rappeler valablement ces résultats et ces méthodes que s’ils ont fait préalablement l’objet d’une étude approfondie visant à une compréhension totale. C’est la compréhension qui doit être la première et qui commande la mémoire, sans dispenser de l’effort de mémorisation, car, s’il est presque aussi difficile de ne pas se rappeler un résultat vraiment bien compris que de retenir un résultat qui n’a été appréhendé que de façon superficielle, il existe toute une zone intermédiaire où l’effort de compréhension et l’effort de mémorisation se soutiennent mutuellement.

On a de même maladroitement défendu le rôle des automatismes de calcul: il s’agit là d’une forme moins noble de mémoire, qu’il ne faut cependant pas mépriser, car l’automatisme est utile dans la mesure où il libère l’esprit qui peut ainsi se consacrer à d’autres tâches.

Mais cet automatisme doit être contrôlé à tout moment, ce qui suppose qu’il n’a pas été imposé à l’esprit, mais que celui-ci a, en quelque sorte, délégué à des agents subalternes l’exécution de tâches qu’il domine parfaitement parce qu’il les comprend intégralement. Lorsque l’on a bien compris une tâche et que l’on s’est familiarisé avec son exécution, l’automatisme naît spontanément, et il est utile et sain. Mais vouloir créer l’automatisme avant qu’il soit compris en empêche le contrôle conscient et fait de l’esprit une machine aveugle: au lieu d’un enrichissement, on aura obtenu un dépérissement de l’activité intellectuelle.

Car, il faut le répéter, la mathématique est une activité intellectuelle, et enseigner la mathématique, c’est essentiellement aider l’esprit à développer son activité, à se fortifier, à se libérer de ses idées non fondées et de ses inhibitions, à savoir se contrôler.

Développement de l’activité de l’esprit

Si les progrès récents de la mathématique ont en partie consisté à mettre en lumière de grandes idées simples au vaste domaine d’action, il serait extrêmement dangereux d’oublier que ces idées ne sont fécondes que si elles sont mises en œuvre dans chaque cas par une technique minutieuse, à l’aspect sévère, voire parfois rebutant.

Mais, précisément, la technique paraît d’autant moins rebutante qu’elle est perçue comme le moyen de faire agir la belle idée. Privilégier abusivement les idées simples et belles au détriment de la technique qui les met en œuvre ou privilégier la technique au détriment des idées qui l’animent sont deux erreurs également funestes et malheureusement fréquentes. Bien d’autres graves contresens peuvent être commis. Le rôle de la rigueur en mathématiques en est un bon exemple. On oppose souvent rigueur et intuition comme des activités antagonistes, et l’on admet trop aisément que la rigueur peut être enseignée, tandis que la richesse de l’intuition est un don des dieux qu’on ne peut provoquer. C’est oublier qu’une rigueur qui n’a pas à tester les suggestions de l’intuition ou une intuition qui n’est pas aiguillonnée par la rigueur sont également stériles, et que le travail mathématique donne beaucoup plus lieu à une collaboration extrêmement étroite de la rigueur et de l’intuition qu’à une opposition ou à des interventions indépendantes, et c’est oublier que l’intuition s’éduque autant que la rigueur.

Émettre des hypothèses, conjecturer des résultats, essayer de les démontrer, tenir compte des difficultés ou échecs éventuels pour modifier la conjecture initiale, enfin arriver à un résultat dont il s’agit d’évaluer la place et l’importance et qu’il s’agit d’assortir des questions qu’il n’a pas résolues ou de celles, nouvelles, qu’il pose, telle est la démarche de tout esprit qui est actif en mathématique, que ce soit celle du plus brillant chercheur ou celle du plus humble débutant, car telle est l’indispensable démarche de qui veut comprendre un tant soit peu la mathématique. La difficulté et l’importance des problèmes ne seront pas les mêmes pour le chercheur et pour le débutant, mais l’attitude intellectuelle est foncièrement la même. Et rien n’est plus erroné que les préjugés concernant le manque de logique ou d’imagination des enfants. Ils sont pourvus de l’une et de l’autre, et la question se pose tragiquement de savoir si certaines formes d’enseignement n’ont pas pour plus clair effet de pervertir l’une et d’étouffer l’autre.

Ce qui manque sans aucun doute aux enfants, c’est la puissance nécessaire pour rassembler des idées apparemment éloignées et pour maintenir longtemps la concentration d’esprit qui permet l’éclosion des idées. Cette puissance ne se développe que par l’exercice. Il faut lui donner des tâches bien mesurées afin qu’il y ait un effort à faire, mais qu’il soit possible de le faire. L’ampleur de cet effort optimal dépend certainement des individus, et pour un même individu des phases de son développement, et pour une part considérable de la motivation de cet effort. Dès que l’intérêt pour une question a été suscité, que l’esprit a senti la question comme une provocation à laquelle il doit faire face, on le voit immédiatement capable d’accroître considérablement ses efforts. Soulignons à ce propos que la meilleure motivation – et peut-être même la seule valable – est la motivation intrinsèque, c’est-à-dire le défi que lance la question en tant que question mathématique. Le désir de briller ou celui de faire plaisir à tel ou tel ne sont que de fausses motivations, auxquelles un recours exclusif est sans doute plus pernicieux que bénéfique.

La mathématique, outil d’exploration du réel

Ce qui précède concerne l’enseignement de la mathématique en elle-même, de ce que l’on peut appeler la mathématique pure. Et cela nous amène à un autre problème crucial, extrêmement mal posé sous la forme d’une prétendue opposition entre les mathématiques dites pures et les mathématiques dites appliquées, ou entre ce que l’on baptise trop rapidement le concret et l’abstrait.

La mathématique n’est pas en elle-même une étude du monde réel, mais elle est un outil puissant pour aider à son exploration. Comment cette aide intervient-elle? Telle est la question à laquelle il faut répondre pour expliquer que la mathématique n’est pas un pur jeu de l’esprit, pour comprendre comment elle est présente dans la plupart des activités humaines, à quelles conditions sa collaboration avec les autres sciences peut être féconde et, par suite, comment dans cette optique son enseignement doit être conçu.

Situations et modèles

Ce que l’on appelle la réalité, ou l’univers réel, ou le monde concret des phénomènes, dans lequel nous sommes plongés et dans lequel nous vivons, peut paraître simple, parce que familier sous certains de ses aspects, à l’observateur superficiel. La moindre réflexion le révèle immense, complexe, opaque et insondable. Le saisir dans sa totalité et dans toute sa profondeur est l’objet d’un souhait qui est peut-être légitime, mais qui n’a jamais été exaucé. Inconsciemment, le plus souvent, dans nos activités pratiques, consciemment dans l’investigation scientifique, nous restreignons notre ambition et nous limitons le domaine de notre exploration. La première démarche scientifique est en effet la détermination d’une situation , c’est-à-dire la délimitation d’un champ d’activité restreint à l’intérieur d’un champ plus vaste, la fixation des objectifs que l’on se propose d’atteindre et des aspects auxquels on accordera son attention. Le choix des situations caractérise une science, au moins à chaque stade important de son développement: distinction par exemple des propriétés physiques et chimiques, ou des propriétés macroscopiques et microscopiques.

Si la situation est dans la réalité, elle n’en est qu’une partie, et une première erreur consiste à oublier cet aspect partiel de la situation.

L’explication scientifique s’efforce de créer ensuite un modèle qui permettra de rendre compte de la situation, de la rendre intelligible et d’être capable de prévision à son sujet. Les modèles les plus maniables sont les modèles mathématiques, et il n’y a pas lieu de manifester à ce propos une quelconque fierté de mathématicien, car on pourrait prétendre, après tout, que c’est une infirmité de l’homme de ne vraiment comprendre que cette mathématique qu’il a faite et qu’il continue à faire. Un bon modèle doit avoir des propriétés intrinsèques de cohérence et de commodité; les assurer est le propre du travail mathématique. Les propriétés de la situation concrète que l’on retient dans le modèle sont les points de départ, les axiomes, de la déduction que l’on opérera à ce propos et au cours de laquelle on devra soit utiliser des outils mathématiques déjà existants, soit en créer de nouveaux.

Mais il est une autre propriété que doit posséder le modèle – elle n’est pas du ressort de la mathématique, n’est jamais parfaite et doit pouvoir sans cesse être remise en question –, c’est d’être adéquat à la situation qu’il est censé représenter. Il est rare qu’il la représente sans simplification, ni distorsion: il faut savoir en évaluer l’importance et savoir décider, par exemple, s’il est plus avantageux d’utiliser un modèle simple mais relativement peu fidèle, ou un modèle moins maniable mais plus adéquat. Plusieurs modèles différents peuvent en effet être utilisés pour étudier la même situation, et, inversement, un même modèle peut rendre compte de situations différentes apparemment très diverses (un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des réels peut rendre compte de situations géométriques, physiques, économiques; un même modèle est utilisé pour décrire les mesures de longueur, d’aire, de masse ou de probabilité).

Il est capital en tout cas de savoir que le modèle n’est pas la situation et que, si l’écart entre le modèle et la situation est inacceptable, la seule solution est de changer de modèle ou bien, dans l’attente d’un meilleur modèle, de n’utiliser celui dont on dispose qu’avec une grande prudence. Confondre la situation et le modèle est une erreur très fréquente: un modèle qui semble très fidèle, ou qui a été utilisé très longtemps, donne à beaucoup l’illusion qu’il est la situation, et certains le prendront pour «la réalité même»; qu’on se rappelle les clameurs qui ont salué la création par Einstein d’un modèle différent de celui de la mécanique newtonienne.

Modèles et théories

La réflexion sur les modèles, au second degré, aboutit à l’élaboration des théories mathématiques. Constatant que des modèles différents ont la même structure , le mathématicien étudie ces structures en elles-mêmes. Une théorie mathématique peut être rapidement caractérisée comme l’étude d’une structure et de ses morphismes, c’est-à-dire des applications qui sont compatibles avec cette structure. Le mathématicien goûte une indéniable joie esthétique à élaborer ces théories, mais il n’y a pas lieu d’écarter ce moteur ni de le considérer comme un luxe inutile, car, outre que l’homme a besoin de beauté, ces théories ont l’avantage pratique de réaliser une considérable économie de pensée, et, ne gardant de chaque modèle que les traits constitutifs fondamentaux qui en permettent le fonctionnement, elles opèrent un classement qui aide, en face d’une situation concrète, à orienter le choix sur les modèles les plus adéquats.

Car, s’il y a une démarche qui va dans l’ordre «situation, modèle, théorie», il y en a une aussi qui n’est pas plus périlleuse que la première et qui va dans l’ordre inverse. Un esprit familiarisé avec l’étude de nombreuses situations, de nombreux modèles, de nombreuses théories sera plus armé pour attaquer de nouvelles situations, pour juger de l’utilité et de la portée d’un modèle et pour en créer de nouveaux.

De la spécialisation

La spécialisation qui tend à ce que certains s’occupent presque exclusivement de situations et de modèles frustes, et d’autres de théories, sans référence à leurs origines, est en cela néfaste. La solution sage est de faire sa part légitime à chacun des éléments de ces triplets «situation-modèle-théorie» et de ne pas en privilégier un au détriment des autres. Si la spécialisation est inévitable, il faut au moins remédier à ses défauts par un travail d’équipe. Il faut à ce propos rappeler que l’extension du domaine d’utilisation des mathématiques ne peut pas prendre la forme d’un impérialisme mathématique, car, s’il devient de plus en plus vrai que toute activité humaine comporte une composante mathématique explicite, il demeurera toujours encore plus vrai que la mathématique, à elle seule, ne peut, en dehors de son terrain spécifique, absolument rien résoudre: si elle peut aider à imaginer des modèles de plus en plus raffinés, si elle peut étudier profondément ces modèles, la question de leur adéquation à la réalité n’est pas de son ressort.

L’enseignement mathématique lui non plus ne doit pas être victime de la spécialisation: il doit être conçu comme celui d’une discipline qui doit collaborer avec toutes les autres, et il doit rendre les étudiants aptes à voir dans une question ce qui peut et ce qui gagne à être traité mathématiquement. Mathématiser des situations, élaborer des outils mathématiques, réfléchir sur ces outils pour les rendre à la fois plus maniables et plus universels, habituer l’esprit à parcourir dans les deux sens le chemin qui va de la réalité aux théories, telle devrait être sa démarche.

L’enseignement mathématique en est au stade où il prend conscience de ses problèmes; ceux-ci sont très loin d’être résolus: ils ne le seront que par un travail persévérant et minutieux, et à condition d’être abordés de front et non pas d’être esquivés au profit de solutions hâtives, d’apparente facilité, qui en escamotent l’essentiel. Il n’y a pas dans ce domaine de solution miracle. Il faut attaquer tous les problèmes: un effort partiel, même bien orienté, demeurera d’un assez faible rendement.

La recherche doit se faire selon les grandes lignes dégagées ci-dessus:

– tenir compte, à tous les niveaux, du développement actuel de la pensée scientifique;

– considérer qu’il y a lieu de développer un savoir-faire intellectuel rigoureux mais créateur, précis mais souple, et non de donner un corset rigide de recettes imposées aux esprits que l’on prétend former;

– ne pas couper la mathématique du réel, éviter de confondre les modèles qu’elle étudie et les situations dont ils rendent compte.

Le moteur essentiel de la recherche doit être le respect des esprits dont la liberté doit s’épanouir: la créativité de l’esprit doit se développer tout en étant contrôlée par l’esprit lui-même.

Des efforts croissants sont actuellement déployés dans tous les pays en matière d’enseignement des mathématiques et il n’est pas déraisonnable d’espérer que les prochaines décennies apportent des progrès substantiels.

Encyclopédie Universelle. 2012.